我看到了它,却不敢相信它。 --康托尔
如果说python的哲学是"简单即是美"。那么"大道至简"用以形容数学才算适得其所吧。
如果你还不知道"对角线方法"(或者说已经遗忘),那么即将展现在你面前的东西将会美妙到让你瞠目结舌--无以伦比的康托尔的天才:
两个无穷集合“大小”一样当且仅当它们的元素之间能够构成一一对应。
举例:偶数是自然数的真子集,那么用函数表示为:
f(n) = 2n
套用上面的构想,有没有感到世界真疯狂?~
是的,你没有想错,你也没疯(当然我也没有):偶数集合与自然数集合是一样大的!
如果这样也行的话,惊人的结论绝对可以砸到你麻木:如一条直线上所有的点跟一个平面上所有的点构成一一对应(也就是说复数集合跟实数集合构成一一对应)
怀疑是可以理解的,否则始作俑者也不会说出开篇的那句话。
当然,本文要说的其实并不是"一一对应"。有了规则,自然就会有不符合其规则的东东存在。(终于要进入正题了)
这里鉴于数学证明的繁复,请诸位看官暂时移步:
康托尔的天才证明
是不是自信心再次受到打击?寥寥数十行,证明完毕!这种开创性的"先肯定性假设,再自我悖驳"的证明方式被后来者用于很多基础性的证明之中。
之所以说它美妙,是因为它已超越了纯数学领域的束缚,泛到哲学,细至计算机学,在这就不一而论。(不要担心,文末会给出引导和链接)
突然发现,戛然住笔是目前最好的选择。原来想描绘出那个波澜壮阔的数学时代,功底的薄弱使得文笔惨淡到无以附加。列出康托尔的天才对后世的影响吧:
对角线-->哥德尔不完备性定理-->停机问题(图灵机)/Y Combinator(lambda)....
当然,这只是一条线(还是残缺的)。
聪明人估计对这个"金色对角线"还有些腹诽,那就不能错过"直觉主义"的相关话题了。
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此文的诞生源于刘未鹏的<暗时间>(某种程度上也终于其,大牛的水准高山仰止啊)
一些相关读物:
康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线
对角线方法
基于直觉主义对对角线方法和停机问题的评论
唉,好东西太多,我知道的太少。什么时候,才能一书那波澜壮阔的数学世界啊~
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